Probablemente, la primera abstracción que se hizo fue la creación de los números. La aritmética (también conocida como teoría de números, especialmente cuando se trata de problemas complejos), es la rama de las matemáticas que estudia las características y propiedades de los números enteros, y cualquier otro problema que surja del estudio de los mismos. Es la rama más antigua de las matemáticas, y sus operaciones básicas son empleadas a diario por prácticamente cualquier persona.

La aritmética se puede subdividir en varios campos de acuerdo al tema que se estudia y a la forma de resolverlo. Así, se pueden encontrar temas pertenecientes a la aritmética elemental, aritmética algebraica, aritmética geométrica, aritmética combinatoria y aritmética computacional. La aritmética elemental posee este nombre no porque sea sencilla, sino porque no utiliza técnicas de otros campos de las matemáticas, y es, junto con la aritmética computacional, el tema principal de este capítulo.

A pesar de que los conceptos más elevados no tuvieron aplicación en problemas prácticos durante mucho tiempo, la gran dificultad de estos problemas, que pueden ser planteados de manera relativamente simple, llevó a la aritmética a ser considerada como una de las áreas más elegantes de las matemáticas y atrajo el interés de muchos de los más grandes matemáticos.

A través de la historia, diferentes civilizaciones han utilizado distintos símbolos y sistemas para representar los números. A estos sistemas se les conoce como sistemas de numeración y a los símbolos como símbolos numéricos o guarismos.

En un principio, las tribus utilizaban simples marcas para contar, donde cada marca era equivalente a una unidad. Con el paso del tiempo, la cantidad de marcas se volvió demasiado grande por lo que se empezaron a utilizar otros símbolos como abreviaciones. Por ejemplo, los antiguos egipcios utilizaban un sistema basado en potencias de 10, en el que el 1 estaba representado por un báculo, el 10 por un cuenco, el 100 por un rollo, el 1000 por una flor y el 10000 por un dedo.

La principal desventaja de este tipo de sistemas es la necesidad de introducir un nuevo símbolo por cada potencia de 10 (o del cualquier otro número que se utilice como base). Para remediar esto, se empezaron a utilizar los sistemas posicionales. Con estos sistemas podemos representar cualquier número real en base b utilizando únicamente b dígitos (0, 1, ...,|b| -1).

Se cree que el sistema posicional en base 10 se comenzó a usar en la India, alrededor del año 500 a.C. Cerca del siglo X, los árabes tomaron estos conocimientos de los hindúes e introdujeron su uso en España, desde donde se esparció después a toda Europa y, con las conquistas, al resto del mundo.

Alrededor del año 300 a.C., surgió en Alejandría un matemático que se dispuso a recoger los teoremas de sus predecesores y a organizarlos en una gran compilación. Se cree que Euclides no fue un gran innovador, pero tuvo la enorme habilidad de reescribir, catalogar y demostrar de forma clara la mayoría de los avances matemáticos que se habían desarrollado, reuniendo todo en una obra de trece libros a la cual llamó Los Elementos. Esta obra es tan importante que es la segunda en número de ediciones publicadas (después de la Biblia).

En los libros VII y X describe un procedimiento que se conoce como el algoritmo de Euclides, aunque se cree que pudo haber sido descubierto 200 años antes. Este algoritmo demostraba como obtener una “medida común” para dos segmentos de línea, mediante la substracción iterativa del segmento corto al largo. A esta “medida común” se le conoce como máximo común divisor, y aunque se utiliza principalmente para números enteros, puede ser generalizado para ser utilizado con números racionales y reales, con polinomios y con algunos otros elementos matemáticos.

Dentro de Los Elementos, Euclides dedica 4 libros al estudio de la Aritmética, siendo temas importantes el tratado de los números primos y la factorización de números. Estos temas, junto con otros relacionados, se analizan en el capítulo 4.

En el siglo III, Diofanto inició el estudio de ecuaciones que a la postre se conocerían como diofantinas, las cuales sólo aceptan soluciones enteras. Poco se sabe sobre la vida de Diofanto, pero gracias a un problema que fue escrito en su epitafio, se conoce a que edad murió además algunas otras fechas.

Las ecuaciones diofantinas fueron ampliamente estudiadas por los matemáticos Hindúes en la edad media, quienes encontraron soluciones a ecuaciones de la forma ay + bx = c a través de fracciones continuas. Después encontraron soluciones a las ecuaciones de la forma ax² + 1 = y² utilizando métodos similares, las cuales son conocidas como ecuaciones de Pell.

Entre los siglos IX y XVII, los matemáticos islámicos tuvieron una importante participación dentro de la aritmética. Desarrollaron teoremas relacionados con las parejas de números amigables (dos números son amigables cuando la suma de los divisores propios de uno da como resultado al otro y viceversa), y encontrando las parejas 17296, 18416 y 9363584, 9437056. También estudiaron las propiedades de los número perfectos pares, y propiedades de divisibilidad como que si p es primo entonces 1 + (p-1)! es múltiplo de p.

A partir del siglo XVI, se empezaron a dar avances importantes en Europa. Por estas fechas, Fermat produjo métodos importantes como su descenso al infinito, además de su famoso Último Teorema, el cual establece que la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene solución para valores de n mayores a 2. Después de Fermat, surgieron otros grandes matemáticos que profundizaron en la teoría de números, destacando Euler y Langrange en el siglo XVIII, así como Legendre y Gauss en el siglo XIX.

En el siglo pasado se encontraron resultados importantes como la demostración del Último Teorema de Fermat, y el Teorema de Taniyama-Shimura, el cual está relacionado al anterior.